「GIS算法」计算任意多边形质心的方法

在之前的文章《QGIS使用字段计算器添加质心坐标(centroid)》中我们介绍了使用QGIS的字段计算器添加质心坐标的方法。有同学好奇这个质心是怎么计算的？如果计算一个多边形的质心？今天做一个简要的介绍。

简要推理

如下图，是一个正方形，其面积为 16。

假设质量均匀，其质心为 (2, 2)。在右侧再放一个长方形，如图：

长方形的质心为 (6, 4)，其面积为 32。

那么这两个图形组合在一起，其实质心是多少？假设质心为(x,y)，那么下面的公式成立：

x * 48 = 2 * 16 + 6 * 32
y * 48 = 2 * 16 + 4 * 32

x = 14/3, y = 10/3。

相同的方式，把一个任意多边形，可以分割成多个三角形，总结出来的公式如下：

其中Ai表示三角形的面积，可以利用边长向量的外积的一半来求得。xi yi分别代表顶点的坐标。

JS 实现

使用JavaScript可以做如下实现：

function getCentroid(points) {
    var totalArea = 0;
    var totalX = 0;
    var totalY = 0;

    for (var i = 0; i < points.length - 1; ++i) {
      // a、b以及原点构成一个三角形
      var a = points[i + 1];
      var b = points[i];
                console.log(i);

      var area = 0.5 * (a[0] * b[1] - b[0] * a[1]); // 计算面积
      var x = (a[0] + b[0]) / 3; // 计算x方向质心
      var y = (a[1] + b[1]) / 3; // 计算y方向质心

      totalArea += area;
      totalX += area * x;
      totalY += area * y;
    }

    return [totalX / totalArea, totalY / totalArea];
}

测试对比

使用之前在文章《QGIS导出SHP文件中某个要素的坐标至TXT》中提到的方法，将一组坐标导出，并代入，计算得出结果：

对比下《QGIS使用字段计算器添加质心坐标(centroid)》中计算的结果：

结果是一致的。

参考

1. https://jingsam.github.io/2016/10/05/centroid.html
2. https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%87%A0%E4%BD%95%E4%B8%AD%E5%BF%83#cite_note-3
3. https://en.wikipedia.org/wiki/Shoelace_formula
4. https://zhuanlan.zhihu.com/p/485050422