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地图投影基础知识入门

一.地图投影(map projection)的基本概念  

地图投影是将地球椭球面上的点投影到平面上的数学方法。其实质就是建立地球椭球面上点与平面上对应点之间的函数关系。

其数学公式为:

\[X=f_{1}(\phi,\lambda)\]

\[Y=f_{2}(\phi,\lambda)\]

当给定不同的具体条件时,就可以得到不同种类的投影。
下面是投影的简单示意图:

二.投影变形(Projection distortion)

  • 长度变形(distance distortion)

    即长度比与1之差值,\(v_{\mu}=\mu-1\)

    所谓长度比(distance scale)是指:地面上微分线段投影后的长度ds’与其相应的实地长度ds之比,\(\mu=ds'/ds\)

    极值长度比:一点上不同方向上的长度比是不同的,其中最大值和最小值,称为极值长度比,用a和b来表示。

    主方向:极值长度比的方向。

    经线和纬线长度比:沿经线和纬线方向的长度比,用m和n表示。

    任意一点与经线成\(\alpha\)角方向上的长度比\(\mu_{\alpha}\)的计算公式:

    式中,M为子午圈曲率半径,r为纬圈半径,E,F,G称为一阶基本量(或高斯系数)

    经线长度比:\(m=\frac{\sqrt{E}}{M}\)

    纬线长度比:\(n=\frac{\sqrt{G}}{r}\)

  • 面积变形(area distortion)

    即面积比与1之差,\(V_{p}=p-1\)

    所谓面积比是指:

    地面上微分面积投影后的大小dF'与其相应的实地面积dF之比。

  • 角度变形(angular distortion)

    地面上某一角度投影前角值\(\beta\)与其投影后的角值 \(\beta'\)之差,即\(\beta-\beta'\)。

    投影中,一定点上的角度变形的大小用其最大值来衡量, 即称为该点最大角度变形\(\omega\)。

    \[sin\omega/2=(a-b)/(a+b)\]

    \[tg(45^{0}+\omega/4)=(a/b)^{1/2}\]

    其中a,b为该点的极值长度比。

    补充知识:

    变形椭圆(indicatrix ellipse):

    地面上的一个无穷小圆(微分圆)投影后一般成为一个微分椭圆,这个微分椭圆称为变形椭圆。

    • 投影后为不同大小的圆形,则该投影为等角投影。
    • 投影后为面积相等而形状不同的椭圆,则该投影为等面积投影。
    • 投影后为面积不相等的椭圆,则该投影为任意投影。如果椭圆的某一半轴与微分圆的半径相等,如a=r,或b=r,则该投影为等距离投影。

    下面是几种特殊投影的示例:

  • 麻辣GIS-Sailor
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