地球椭球体的基本要素和公式

1.地球椭球体的基本要素

地球椭球体的基本要素分为:

长半径a(赤道半径)

短半径b(极轴半径)

扁率\(\alpha\)

第一偏心率和第二偏心率e, e’

数学公式：

\[ \alpha=(a-b)/a=1-b/a\]

\[e^{2}=(a^{2}-b^{2})/a^{2}=1-b^{2}/a^{2}\]

\[e'^{2}=(a^{2}-b^{2})/b^{2}=a^{2}-b^{2}-1\]

\[e^{2}=e'^{2}/(1+e'^{2})\]

\[e'^{2}=e^{2}/(1-e^{2})\]

\[e^{2}\approx2\alpha\]

扁率和偏心率反映地球椭球体的扁平程度。

2.子午圈曲率半径和卯酉圈曲率半径     

法截面
设过椭球面上任一点A作法线AL,通过A点法线的平面所截成的截面。

主法截面
通过AL两个相互垂直法截面。含有极值意义的两个主法截面是: 子午圈截面(AE1P1EP)   卯酉圈截面(QAW)如图：

计算公式：

\[M=a(1-e^{2})/(1-e^{2}sin^{2}\phi)^{3/2}\]

\[N=a/(1-e^{2}sin^{2}\phi)^{1/2}\]

上述公式中：a：长半径  e：第一偏心率 \(\phi\)：纬度

当椭球体选定后，a,e为常数；M，N随纬度的变化而变化。

当\(\phi=0^{0}\)时

\[M_{0}=a(1-e^{2})\]

\[N_{0}=a\]

当\(\phi=90^{0}\)时

\[M_{90}=a/(1-e^{2})^{1/2}\]

\[N_{90}=a/(1-e^{2})^{1/2}\]

3.平均曲率半径和纬圈半径

平均曲率半径（R）

主法截面曲率半径的几何中数。

\[R=(M*N)^{1/2}=a(1-e^{2})^{1/2}/(1-e^{2}sin^{2}\phi)\]

纬圈半径（r）

\[r=Ncos\phi=acos\phi/(1-e^{2}sin^{2}\phi)^{1/2}\]

在赤道上，\(\phi=0^{0}\)，r=N=a

在两极，\(\phi=90^{0}\)，r=0

4.子午线弧长和纬线弧长

子午线弧长:就是椭圆的弧长。

\[\overline{AA'}=ds=Md\phi=a(1-e^{2})d\phi/(1-e^{2}sin^{2}\phi)^{3/2}\]

纬线（平行圈）的弧长:

由于纬线为圆弧，故可应用圆周弧长的公式。

结论

1. 同纬差的子午线弧长由赤道向两极逐渐增加,例如纬差   10的子午线弧长在赤道为110576米,而在两极为111695米;
2. 同经差的纬线弧长则由赤道向两极缩短。例如经差10的纬线弧长在赤道处为111321米，在纬度450处缩短为78848米，至两极时则为零。

5.地球椭球体表面上的梯形面积

它是指二条子午线和两条纬线所围成的面积。

\[AB=CD=Md\phi\]

\[BC\approx AD=rd\lambda=Ncos\phi d\lambda\]

\[dT=AB\cdot BC=M\cdot d\phi\cdot Ncos\phi\cdot d\lambda\]