GIS表示拓扑关系的九元组

在四元组基础上，Egenhofer将此扩展到九元组，即空间拓扑关系可由两实体的边界(\(\partial A\)、\(\partial B\))、内部(\(A^0\)、\(B^0\))和外部(\(A^{-1}\) ，\(B^{-1}\))三部分相交构成的3×3九元组来决定,即A的内部（\(A^0\)）、边界（\(\partial A\)）和外部（\(A^{-1}\) ）与B的内部（\(B^0\)）、边界（\(\partial B\)）和外部（\(B^{-1}\)）之间的交,可表达为:

九交模型所描述的拓扑关系如图：

考虑取值有空（0）和非空（1），可以确定有种2^9 =512种二元拓扑关系。对于嵌在R2中的二维区域，有八个关系是可实现的，并且它们彼此互斥且完全覆盖。这些关系为：相离（disjoint）、相接（meet）、交叠（overlap）、相等（equal）、包含（contain）、在内部（inside）、覆盖（cover）和被覆盖（covered by）。如图

图中显示了如何使用九交矩阵来表示拓扑关系。例如，在九交模型中，相离关系可以用图中左上角的布尔矩阵表示。0值说明interior (A) 与interior (B) 或boundary (B) 没有公共点。类似地，interior (B) 与boundary (A) 没有公共点，boundary (A) 与boundary (B)也没有公共点。

在二维简单空间目标间拓扑关系描述方面，用9元组区分出了8种面/面、19种线/面、3种点/面、33种线/线、3种线/点、2种点/点关系。

就复杂目标间拓扑关系而言,一些学者用9元组研究了如带洞的面域、自相交的线、离散空间中面状目标之间的拓扑关系、组合区域间的拓扑关系等。

一些学者对三维拓扑关系描述进行了研究。Simon Pigot等将二维拓扑空间关系描述框架进行了扩展，对多维空间实体间的拓扑空间关系的描述进行了研究。