常用地图投影之圆锥投影

基本概念

定义

设想用一个圆锥套在地球椭球体上,而把地球椭球上经纬网投影到圆锥面上,然后沿着某一条母线(经线)将圆锥面切开而展成平面,就得到圆锥投影。圆锥面和地球椭球体相切称为切圆锥投影,圆锥面和地球椭球相割时称为割圆锥投影。

分类

按圆锥面与地球椭球体的相对位置分 :

正轴圆锥投影

圆锥轴与地球椭球体的旋转轴相一致；

横轴圆锥投影

圆锥轴与地球椭球体的长轴相一致；

斜轴圆锥投影

圆锥轴既不和椭球体的旋转轴重合， 也不与它的长轴相重合。

按变形性质分

等角圆锥投影

正轴等角圆锥投影也称为Lambert正形投影。

等面积圆锥投影

正轴等面积割圆锥投影也称为Albers投影。

任意投影

特例是等距离投影。

正轴圆锥的基本公式

极坐标公式为：

\[\rho=f(\phi)\]

\[\delta=\alpha \cdot \lambda\]

其中\(\delta\)表示两条经线夹角在平面上的投影。

\(\alpha\)表示\(\delta\)与\(\lambda\)的比值，小于1

\(\lambda\)表示地球椭球体上两经线的夹角。

直角坐标公式为:

\[x=\rho_{s}-\rho cos\delta\]

\[y=\rho sin\delta\]

其中\(\rho_{s}\)表示制图区域最低纬线的投影半径

在该投影中,经纬线投影后呈正交，故a、b就是是m、n, 即经纬线方向就是主方向。

正等角圆锥投影

基本公式：

根据等角条件   a=b或 m=n，得：

\[d\rho/(M d\phi)=\alpha \rho/r\]

\[d\rho/\rho=\alpha M d\phi/(Ncos\phi)\]

将M，N 公式带入上式，并取积分可得：

\[\rho=K/U^{\alpha}\]

K,\(\alpha\)称为投影常数

\[U=tg(45^{0}+\phi/2)/tg^{e}(45^{0}+\psi/2)\]

\[sin\psi=esin\phi\]

当\(\phi=0^{0}\)时，K=\(\rho\)，故K的几何意义是赤道的投影半径

正等角圆锥投影的一般公式如下：

\[\delta=\alpha\cdot\lambda\]

\[\rho=K/U^{\alpha}\]

\[U=tg(45^{0}+\phi/2)/tg^{e}(45^{0}+\psi/2)\]

\[sin\psi=esin\phi\]

\[e=((a^{2}-b^{2})/a^{2})^{1/2}\]

\[x=\rho_{s}-\rho cos\delta\]

\[y=\rho sin\delta\]

\[m=n=\alpha \rho/r=\alpha K/(rU^{\alpha})\]

\[p=m^{2}=n^{2}=(\alpha K/(rU^{\alpha}))^{2}\]

\[\omega=0\]

投影常数\(\alpha\),K的确定方法

1. 单标准纬线正等角圆锥投影:指定制图区域中某一条纬线无长度变形。
2. 双标准纬线正等角圆锥投影:指定制图区域中两条纬线无长度变形。
3. 定域等面积正等角圆锥投影:使制图区域各部分面积变形的总和为零，即制图区域总面积和原来的大小保持不变。

下图分别对应上述123

双标准纬线正等角圆锥投影

经纬线的表象：其经线表现为辐射的直线束,纬线投影成同心圆圆弧。圆锥面与椭球面相割的两条纬线圈，称为标准纬线（\(\phi_{1},\phi_{2}\))。

标准纬线的位置：

\[\phi_{1}\approx\phi_{s}+35^{'}\]

\[\phi_{2}\approx\phi_{N}-35^{'}\]

\(\phi_{s}\):制图区域最南边的纬度

\(\phi_{N}\):制图区域最北边的纬度

双标准纬线正等角圆锥投影投影公式

\[\alpha=(lgr_{2}-lgr_{1})/(lgU_{1}-lgU_{2})\]

\[K=(r_{1}U_{1}^{\alpha})/\alpha=(r_{2}U_{2}^{\alpha})/\alpha\]

其中：
\[U_{1}=tg(45^{0}+\phi_{1}/2)/tg^{e}(45^{0}+\psi/2)\]

\[sin\psi_{1}=esin\psi_{1}\]

其他的公式同前。

投影变形分析

1. 角度没有变形,即投影前后对应的图形保持相似,故也可称为正形投影;
2. 两条标准纬线上没有任何变形;
3. 等变形线和纬线一致,同一条纬线上的变形处处相等；
4. 在同一经线上,两标准纬线外侧为正变形(长度比>1)，而两标准纬线之
5. 为负变形(长度比<1),因此变形较均匀,绝对值也较小;
6. 同一纬线上等经差的线段长度相等,两条纬线间的经线线段长度处处相等。

我国的1:100万地图采用该投影,为了提高精度,1:100万地图的投影按百万之一地图的纬度划分原则—从赤道00开始，纬差40一幅，从南向北共分成15个投影带，每个投影带单独计算，建立数学基础。由于采用分带投影，每带纬度较小，我国范围内的1：100万地图变形值几乎相等，其长度变形最大不超过0.03%,面积变形约为长度变形的2倍。

圆锥投影的变形分析及应用

在切圆锥投影中，标准纬线\(\phi_{0}\)处的长度比\(n_{0}=1\),其余纬线长度比均大于1，并向南、北方向增加；

在割圆锥投影中，标准纬线\(\phi_{1}  \phi_{2}\)处长度比\(n_{1}=n_{2}=1\)，变形自标准纬线\(\phi_{1}  \phi_{2}\)向内和向外增大，在\(\phi_{1}\)和\(\phi_{2}\)之间n<1,在\(\phi_{1}\)和\(\phi_{2}\)以外n>1。

从变形特点，可得出结论：

圆锥投影最适用于中纬度处沿纬线伸展的制图区域。